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282. El área de la curva, representada por las ecuaciones (2), se de- 

 termina con auxilio de la fórmula 



-\ eos 2 í sen ' t — - — . 



4 64 4 



De la cual, para expresión del área total, limitada por la curv:i, ?e dcá- 

 prcnde esta otra: 



"('"-f'l- 



Y también la longitud de los arcos de la misma curva puede fácilmcníe 

 obtenerse, apoyándose en la ecuación 



ds 



= ± (3Í sení cos¿ — h). 



dt 



Pues, designando por t^ y íg los valores de t en los extremos del arco con- 

 siderado, y suponiendo estos puntos comprendidos entre los mismos pun- 

 tos de retroceso, hállase por integración que 



— I (8en2<2 — sen2íj) — h {t.^ — íj) : 



debiendo emplearse para expresión del resultado final el signo que pro- 

 duzca para s un valor positivo. 



283. Por haberlo considerado más sencillo, al precedente breve estu- 

 dio de las curvas paralelas á la asiroide hemos procedido tomando como 

 base para ello las ecuaciones simultáneas (2), de las cuales, mediante la 

 eliminación de sen/, que no estimamos pertinente detallar, se obtiene la 

 siguiente ecuación cartesiajia, única, de aquellas curvas: 



[3 (X2 + if — l"^) — 4A2]3 + [IllxiJ — 9h (X2 + í/2) — 18/2/, _|_ 8/í2J2= Q. 



Como se obtiene la tangencial de las mismas comparando la ecuación de 

 sus tangentes 



