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pende de la rectificación de arcos de elipse, como también advirtió por vez 

 primera el mismo Guido -GrandI. 



Consideremos, en efecto, una rama cualquiera de estas curvas. 



La longitud del arco comprendido entre el origen de las coordenadas y 

 el punto (9, p) tiene por expresión general la siguiente: 



s= I \/ p-^-^^dH = am\ A/i— '"^~^ senhn^.d^; 

 ó, poniendo ot9 = lü, 



=»rv 



w2— 1 .-, 



1 sen-cü . (iiü 



De manera que aquella longitud depende de una integral elíptica de 

 segtmda especie. 



Si es m < 1, el módulo de la integral precedente será imaginario. Pero, 



poniendo w ^ x, lo que da 



—-TV 



>n J TI y 



1 — (1 — m^) sen^T .(íx, 



s dependerá asimismo de otra integral elíptica de segunda especie, y de 

 módulo real. 



De donde se deduce que la longitud del arco comprendido entre el ori- 

 gen y el vértice de una hoja tendrá por expresión 



=cv 



^m2 J^ 



1 sen'^wí/o), si TO > 1; y 



m^ 



M' V' - 



(1 — m^) sen^x í/x, si ?w < 1: 



en atención á que, en el vértice, 9 = y, por tanto, u= — y x ^ 0. 



2m 2 



