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594. Por ser las loagitudas de los arcos de rosácea iguales á las de 

 arcos de elipse , puédense extender á los primeros ciertas interesantes pro. 

 piedades, conocidas y ya demostradas por referencia á los segundos. Fijé- 

 monos particularmente en el teorema aplicable á las rosáceas, que corres- 

 ponde al de Fagnano. 



Consideremos (fig. 144, p." 481) los arcos de rosácea OM, OM' y O A; 

 y sean 'f y <j/ los valores de oj en los puntos M j M'. El valor de w en el 



punto A será — . 



Del teorema de adición de las integrales elípticas de segunda especie 



se infiere que 



„ /. - \ It^ sen* coses 

 E{k,'^)-\-E{k,^)-E[k, -]= , -f ^T' 



en el doble supuesto de ser 



E {k, w) = 1 V 1 — k^ sen^ w dio, 



j de existir entre <p y <}/ la relación 



coscf cos<|; = sentp senij' \í — k^. 



Pero cuando sea w> 1 (y del mismo modo se trataría el caso de ser 

 m < 1), 



OM=aE{k,'i) y OM' = aE(k,\); y 



OA = aE{k,\^) y k^ = -— . 



Luego 



, .,, aJc^ sentó costo 



OM-\-OM' — OA = OM—AM' 



\/l — fc2 



sen'" -f 



faltando ahora construir el segundo miembro de esta igualdad. Para lo cual 

 basta advertir que, en el punto M, p=a sen-o; y, por tanto, d¡i=a costpcía 

 de manera que 



dp eos (p 



ds \/l — k'' 



sen 2 to 



