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de las cuales, por eliminación de t, se desprende la ecuación de la evoluta. 

 Como / es variable independiente, no hay dificultad en sustituir en es- 

 tas ecuaciones, sin alterar la naturaleza de la curva que representan, ¿ + 71: 

 en vez de ¿, y así resultará 



a;i = r (¿4- 7c — sení) é y = r (— 1 — cosí): 



6, trasladando el origen de las coordenadas al punto Oj, cuyas coordena- 

 das son Tzr — 2r y 



a:i = r{t — seai) é ¿/j = /• (1 — cosí). 



Por medio de estas ecuaciones vese, pues, que la evoluta de la cicloide 

 es otra cicloide igual á la primera, en la cual el punto O, representa un 

 punto de retroceso, y los O y B los vértices de dos de sus arcos consecu- 

 tivos (HüYGENS). 



503. Para hallar la longitud del arco de la cicloide, comprendido en- 

 tre los puntos correspondientes á 1 = 1^ y t = t^, nos valdremos de la 

 fórmula 



s= r'yjdx^ + dy^ = 2r T' sen - rfí = 4r feos -^ - eos Aj 

 Jk Jto '^ \ 2 2 ) 



De la cual, poniendo t^ = -n, se concluye que la longitud del arco DM re- 

 sulta dada por la igualdad 



s =4/- eos — te,: 

 2 " 



6, advirtiendo que MG = 2/- eos — t^, s = 2MG. 



Luego la longitud del arco DM de la cicloide será igual al duplo de la 

 cuerda MO (Hdygens: Oeuvres, t. 11, p. 343). 



Y, poniendo /q = O y ¿j = 2it, s = 8r: de manera que la longitud de 

 un. arco completo de la cicloide resulta igual á ocho veces el radio del cír- 

 culo generador (Wren). 



