— 432 — 



das Oy: recta y ejes tangentes á la evoluta en los tres mencionados pun- 

 tos, conforme manifiesta la figura. (Dieu: Nouvelles Anuales des Mathé- 

 7natiques, t. xi, p. 131). 



514. Para rectificar las cicloides consideradas, basta advertir que 



ds = yjx'^ + ?/'2 di = Vr2 + a2 — 2 ar eos t dt. 

 Ó, poniendo ¿ = ti -)- 28, 



*'''" 8en2 9 d9. 



Luego la rectificación de los arcos de la curva de que se trata depende 

 de la rectificación de otros arcos de una elipse (Pascal); ó, como la pre- 

 cedente fórmula enseña, del cálculo de una integral elíptica de segunda 

 especie. 



515. Para encontrar el área limitada por la cicloide y por una paralela al 

 eje de las abscisas, transportemos el origen de las coordenadas al punto D, 

 cambiando para ello x en ur — x,éy enr -\~ a — y; y así resultará que 



x = r{-K — t')-\-ase\ít é y ^= a {\ -\- cost). 

 Luego 



A=2 C^xdy=2a\(-K—t)(rcoBt-\--^ 



+ r sen t A sen 2 1 



4 



Y, si ¿ = 0, hallaremos finalmente para expresión del área, limitada 

 por la curva y por la recta AA' , la siguiente: 



A = 2Tiair-\--\. 



