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el área A, limitada por uno de los arcos de epicicloide y por los radios 

 componentes de la circunferencia fija, que pasan por sus extremos, se halla 

 expresada por la fórmula (Juan Bernodlli) 



2 Jo V d'íi -^ dp) ^ R 



524. Y por ser 



/ dx y í dy \2 ,-2 / ,/,^,-2 ,1 2 4 r2 ( // + ;■)■' o 1 o 



% 



la longitud, s, de uno cualquiera de aquellos arcos lo estará por esta 

 otra (Newton): 



-r^[%f(%i-^- 



8/-(Jg-|-r) 

 R 



525. Consideremos ahora las mismas circunferencias que en el NCi- 

 mero 510, y supongamos que la de radio r y la de radio R sean tangen- 

 tes una á otra interiormente. En este caso las curvas engendradas por un 

 punto de la circunferencia móvil se denominan hipocicloides. 



Y, por procedimiento análogo al empleado en el caso de las epicicloides, 

 fácilmente se deduce que las ecuaciones de estas curvas son las siguientes: 



x = (tí — r) cosa + r eos a é 



r 



y = [tí — /■) sena — r sen a, 



que solamente discrepan de las correspondientes á las epicicloides por el 

 cambio de r en — r. De manera que las propiedades de las hipocicloides 

 serán análogas á las de las epicicloides, y se deducirán de éstas cambian- 

 do también, en los razonamientos para descubrirlas y fórmulas que las ex- 

 presan, r por — r, y viceversa. 



Las dos especies de curvas mencionadas denomínanlas algunos auto- 



