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IV 



HIPOCICLOIDE DE TRES RETROCESOS 



527. Suponiendo que sea R = 3r, de las ecuaciones geaj^rales de las 

 hipocicloides se desprenden estas otras: 



(1) £c ^r (2 cosa -)- cos2a) é y = r {2 sena. — sen2ct). 



En este caso, la circunferencia directora, de radio E, es evidentemente 

 igual en longitud á tres veces la de radio r: componiéndose la curva en- 

 gendrada por un punto cualquie- 

 ra de la segunda , en su movimien- 

 to de traslación rotatoria, tangen- 

 cial á la primera por dentro de 

 la misma, de tres arcos superpo- 

 nihles, limitados en los puntos de 

 retroceso, equidistante uno cual- 

 quiera de los otros dos. A, A^ 

 y A.¿ (fig. 134), y vértices, por 

 lo tanto, del triángulo equilátero 

 AA^ A^. De los arcos de la hipo- 

 cicloide serán tangentes en los 

 puntos mencionados las bisectri- 

 ces de este triángulo, y norma- 

 les á ellos, en C, Cj y Cg, las mismas bisectrices, que por definición han 

 de cortarse en el centro O del círculo CC^C.^, de igual radio, r, que el ge- 

 nerador de la curva. 



La hipocicloide de tres retrocesos ha sido objeto de trabajos de sumo 

 interés. 



EüLER fué el primer geómetra que atentamente se ocupó en su estudio, 

 cuyos resultados consignó en una memoria titulada De duplici genesi epi- 

 cycloidum qiinm /if/pocgcloidun>, publicada en 1781 en las Acta de l'Aca- 

 démie de S. Petersbourg. Trataron después del mismo asunto Steinek 



Fignra 134. 



