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que, considerando las a y p como variables, representa la curva á que co- 

 rresponden los puitos por los cuales se pueden trazar tangentes á la hipo- 

 cicloide considerada, perpendiculares entre sí. 



La última ecuación puede también escribirse de este otro modo: 



(a+3.-)2 + ¡b2 = ,.-2, 



que, abreviadamente, expresa el siguiente teorema de Painvin: 



El lugar geométrico de los puntos por donde pueden trazarse tangentes 

 á la hipoeicloide de tres retrocesos, perpendiculares entre sí, es una cir- 

 cunferencia de radio r, y cuyo centro coincide con el de la hipoeicloide. 

 Por ser, en este caso, 



2B 



4»- -j- a 

 ¿j y ^2 serán entonces raíces de la ecuación de segundo grado 



t^ !^.-l = 0. 



4í--|- a 



531 . Cualquier tangente á la curva considerada corta á ésta en dos 

 puntos, además del de tangencia, separados entre sí por la distancia que 

 pasamos á determinar. 



Sea X el valor de t en el punto de contacto. La ecuación de la tangente 

 será entonces 



4rX3 



a2 + 1 



y los puntos de su intersección con la curva se determinarán por elimina- 

 ción áe X é Y entre esta ecuación y las ecuaciones de la hipoeicloide 



„ 4r/2(/2 + 3) 8<3 



Jv ^ él — 



(¿2 + 1)2 (¿2 J^ 1)2 



de donde se concluye que 



\t'* _ 2 (■a2 ^ 1) ti -j- ), (a2 + 3) í' — X3 = o, 



