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ecuaciones que determinan las coordenadas a y b del foco de la parábola, 

 y enseñan que, cuando la recta dada se mueve paralelamente, el foco no 

 varía, por cuanto a uo varía tampoco. 



Las dos propiedades que acabamos de demostrar se hallan consignadas 

 en la memoria de Painvix, anteriormente citada, y fueron descubiertas por 

 Cremona. Mas las demostraciones que acabamos de proponer difieren de 

 las formuladas por uno y otro geómetra. 



5í{5. Si la recta dada es tangente á la hipocicloide, se verificará que 



4»-V — V— V = 0. 



Y poniendo u = u„ y v = i\¡ en la ecuación de la parábola, dedúcese 

 la relación, idéntica á la anterior, 



,,^2 4. (1 _ 12,.,^) ,,^2 + 2u,^ + 2 v^^ = 0. 



De manera que la recia considerada resulta también tangente á la pa- 

 rábola. 



5í56. Busquemos los puntos en que esta recta 



«o 2/ + ^0 a? + 1 = O 



toca á la curva y á la parábola: ¡)uutos Jados por la ecuación 



ufu (II o, Vq, Wq) + í'/;' (íí-o. í'o- "■q) + >''f-' K' 'o' ='"o) = O, 



representando por f(u, v, iv) = O la ecuación homogénea de la curva. 

 Aplicando esta igualdad á la ecuación de la hipocicloide 



hállase que 



2mo u - {I2rv^^ - 2v^) v + v^^ + u^^ = 0; 



y la ecuación de la parábola conduce al mismo resultado. 



Luego la recta considerada toca á las dos curvas en el mismo punto. 



Y como ya se ha visto que el eje de la parábola es perpendicular á la 

 recta de que se trata, resulta que el punto de contacto, común á la hipoci- 

 cloide y á la parábola, coincide con el vértice de la segunda (Cremona). 



