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Y el valor del área total del triángulo curvilíneo, formado por los tres 

 arcos de la curva, igual á 2Kr^: doble del área del mismo círculo. 



o'iid. Auálúgameatc: la longitud de uno de aquellos tres arcos es igual 



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á — Tzr, ó á dos terceras ¡¡artes de la lonr/itud de la circunferencia gene- 

 radora. Y la longitud total doble de la longitud de la circunferencia des- 

 arrollada. 



540. Las hipocicloides de tres retrocesos poseen afín otras propieda- 

 des interesantes, relativas á sus podarlas, descubiertas por Longchamp.s 

 (Journal de Mathéniatiques spéciales , 1887, p. 203 y 220), y por Bno- 

 CARD (ídem, 1891, p. 32), que relacionan su teoría con la de otras cuárti- 

 cas anteriormente consideradas. 



Como muestra ó prueba de lo dicho, tomaremos por origen de las coor- 

 denadas el punto C. 



La ecuación (3) de las tangentes á la hipocicloide transfórmase en la si- 

 guiente: 



4rt 



Y=tX 



¿2 + 1 



Y la perpendicular á esta recta, trazada por el punto (a, ¡i), tiene asimis- 

 mo por ecuación 



Y-¡i = -j{X-o.). 



Eliminando la t entre ambas ecuaciones, obtiénese la que sigue, corres- 

 pondiente á la podarla de la hipocicloide considerada, relativamente al 

 mismo punto (a, |3): 



= X (a - X) [{X - a)2 + (y _ p)2] _ 4r (a - x) {y - [if. 

 Ó, trasladando el origen de las coordenadas á este punto (a, p), 

 {A) rj iy + p) {x^ + ¿/2) + (¿c + a) X {x^ + ¿z^) - 4 rx,f = 0. 

 Suponiendo ahora que a y ¡i representan las coordenadas de un punto 



