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(Haton de la Goupilliére: Journal de I' École Polytechnique , Pa- 

 rís, xun,p. 141). 



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Y la longitud de un cuadrante de la curva es igual á — I (Juan Ber- 



NODixi: Opera omnia, t. ui,p. 446). 



275. En el lugar acabado de citar de sus obras, estudió el mismo 

 JüAN Bernoulli la astroide, basándose en la definición del Núm. 2tí7, 

 y halló su ecuación, su forma y su longitud. 



Trató de ella también d'Alembert en las Memorias de la Academia de 

 Berlín, año 1747, y después en sus Opúsculos (t. iv, sxm). 



Amstein (Société vaudaise des Sciences Naiurelles, t. xv, p. 175), le 

 dio el nombre que la distingue, y que recuerda su forma. 



Y por parte de otros geómetras ha sido objeto con posterioridad de in- 

 teresantes estudios, referentes muchos á sus distintos modos de genera- 

 ción, según puede verse en la curiosa noticia sobre la materia, publicada 

 por Haton de la Goupilliére en los Nouvelles Anuales des Mathéma- 

 tiques (2.'^ serie, t. xin,p. 534; y t. xix, p. 94). 



De aquellos modos de generación, que constituyen otras tantas defini- 

 ciones de la curva, mencionaremos los siguientes: 



1.° La envolvente de las elipses, dotadas del mismo centro y con ejes 

 en la misma dirección, siempre que la suma de estos ejes permanezca ade- 

 más constante, es una astroide (Desgranges, Nouvelles Anuales des 

 Mathéniatiques , 1.^ serie, t. xx,p. 351). 



2.° La astroide es también el lugar geométrico del vértice de una pa- 

 rábola, que se desliza entre dos rectas perpendiculares entre sí, defor- 

 mándose al propio tiempo, de tal modo que el foco describa una circunfe- 

 rencia alrededor del punto de intersección de aquellas rectas (Bispal, Nou- 

 velles Anuales des Mathématiques, 2.°- serie, t. iv, p. 331). 



3." Astroide asimismo es el lugar de los puntos que tienen por coor- 

 denadas rectangulares los radios de curvatura de la elipse en las extremi- 

 dades de sus diámetros conjugados (Brasí^ne, Nouvelles Aúnales des Ma- 

 thématiques, 2.°' serie, t.ii,p. 12). 



4.° Y astroide, finalmente, la curva descrita por un punto de una cir- 

 cunferencia, que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija, exterior 

 á ella y de radio cuatro veces mayor que la móvil. Como se verá cuando 

 tratemos de las curvas que admiten este modo de generación (epicicloides) . 



