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Apoyándose en este último modo de generación de la curva, la astroide 

 fué designada por Montucci (Comptes rendas de l'Académie de París, 

 t. hx,j}.^ 440, 846) con el nombre de cubo -cicloide. 



A los procedimientos de generación mencionados, todavía podrían agre- 

 garse los muy curiosos propuestos por Pigeon (NouveUes Anuales des 

 Mathématiques , 2." sene, t. iii, p. GO); por Lemoine (1. c, t. xiii,^j. 334); 

 y por Barbarin (1. c, t. xiv, p. 328): etc., etc. 



III 



LAS CURVAS PARALELAS A LA ASTROIDE 



276. Denomínanse, en general, curvas paralelas á otra curva cual- 

 quiera las obtenidas tomando sobre las normales á ésta, en uno (i otro 

 sentido, segmentos de longitud arbitraria h, constante en cada caso. De 

 esta definición resulta que entre los radios de curvatura de ambas curvas 

 consideradas, R de la propuesta, y R^ de la en particular deducida por el 

 indicado procedimiento, existe la relación R^^ R± h. 



Cuando la curva fundamental es una astroide, las curvas paralelas po- 

 seen algunas propiedades interesantes, que han fijado la atención de insig- 

 nes geómetras, y que, por lo mismo, consideramos aquí dignas de estudio. 



De las ecuaciones de la astroide 



(1) x^l sen^ t é ¿/ = / cos^ t 



dedúcese que —— = — cotí; y, por lo tanto, que t representa el ángulo 



formado por la normal á la curva con el eje de las abscisas. 



Y como las curvas paralelas á la astroide se forman tomando sobre 

 cada una de las normales, á partir del punto á que corresponden, un seg- 

 mento de longitud constante, li, concluyese que las coordenadas de aque- 

 llas curvas paralelas se hallarán expresadas de este modo: 



(2) x^ I sen^ t -\- h eos t é y = 1 eos ' t -\- h sen /. 



277. De estas ecuaciones fácil es inferir la forma de cualquiera de las 



