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278. Para continuar el estudio de las curvas mencionadas, propongá- 

 monos ahora hallar la longitud del segmento determinado, sobre una tan- 

 gente cualquiera, por los puntos de intersección de esta tangente con las 

 rectas á que corresponden las siguientes ecuaciones: 



y = vY tang p é y = X tang p'. 



Como la tangente considerada tiene por ecuación 



y — (/ cos^ t -\- h sen t) = — cot t[X — / sen^ t — h eos t] , 



las coordenadas de aquellos puntos (X-^, T^) y {X^, y^) serán 



(/sen¿cos<-f /?) cos¡3 (I sen icos i -\- h) sen ^ 



^*~ cos(p— í) ^~ cos{^ — t) ' ^ 



{I sení cost -\- h) cos^' (lsentcost-{-h)sen^' 



eos (§' — t) '- eos (P' — t) 



Y la longitud. A, del segmento de tangente, comprendida entre ambos 

 puntos, se hallará expresada por la fórmula 



(¿sení cosí + /') sen(¡3 — P') 



eos {[i — t) 003 (P' — t) 



270. Condición necesaria y suficiente para que las rectas considera- 

 das limiten, en todas las tangentes á una cualquiera de las curvas paralelas 

 á la astroide, una longitud constante, A, es que cualquier valor de t satis- 

 faga á la siguiente relación, consecuencia inmediata de la fórmula que 

 acaba de obtenerse: 



sen(,3 — |3') (/ sen í cosí + h) = A [eos p eos P' — cos(P -f p') sen^ t 

 -\- sen (¡5 4- [i') sen t eos t\. 



La cual se resuelve en estas tres ecuaciones condicionales: 



(3) /¿sen(¡3 — p') = Acos¡3cosíd', tang p tang ¡í' = 1, y 



I sen (¡3 — ¡i') = A sen (p + p'). 



