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Y, continuando por el mismo orden los giros del radio vector, el punto 

 generador de la curva describirá una serie de ramas , alternadamente reales 



é imaginarias, terminando la de orden I cuando sea 9 = — —, 



n 



Dando, pues, á I el valor ég, llégase al valor de 9 ^ 2 {2p -\- 1) iz: con 

 lo cual se ve que el punto generador de la curva vuelve á la posición pri- 

 mitiva de donde partió, después de describir 2 (2p -)- 1) ramas, reales 6 



imagiiiarias , de la misma curva. 



2o 



Cuando n sea negativo é igual á — , p varía desde oo hasta a; 



2p + l 



y desde a hasta oo , cuando 8 varíe desde O hasta — . El punto generador 

 de la curva describe, pues, en este caso una rama abierta, que tiene por 

 asíntotas las rectas que forman con el eje los ángulos O y — ; simétrica 



también relativamente al vector que forma con el eje el ángulo ; y se- 

 an 



cante de este vector en el punto (9:^ — —, p = fl|. Y continuando, lo 



\ 2n / ; 



mismo que cuando n era positivo, los giros sucesivos de 9, concluyese, 

 análogamente, que la curva se compone de 2 (2p -|- 1) ramas, alternada- 

 mente reales é imaginarias, siendo las reales iguales todas unas á otras. 

 Si á los valores negativos de p nos atenemos ahora, hallaremos otras 



2 {2p -\- V) ramas, iguales á las precedentes. 



2^ + 1 

 Y suponiendo, por último, que sucesivamente sean n=^ y 



n = — '—^ — por análogo género de consideraciones llegaremos á resul- 



2^ + 1 

 tados comparables á los en los anteriores supuestos acabados de obtener. 



Vese también, como en el Núm. 587, que, en todos los casos hasta 

 ahora examinados, las espirales sinusoides son curvas algébricas. Pero, en 

 el de ser n irracional, el número de ramas de la curva será infinito y la 

 curva iranscendente. 



624. Aplicando á las espirales sinusoides la fórmula conocida 



-,ft sen9 4- p cosí 

 a.y cío 



dx da n 



-35- coso — p seno 



