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 De la cual, poniendo 8enF= t, se desprende esta otra: 





_ 1_ 



(Y—i^)~ -i dt. 



De manera que la longitud de ios arcos de las curvas consideradas so- 

 lamente podrá expresarse por funciones elementales, cuando — represente 



un número entero. 



Aplicando á la integral, que figura en la expresión de s, una fórmula, 

 bien conocida, de reducción de las integrales binomias, llégase á esta otra: 



s=a[<«(l-<^)M, +-^« i t"^ i\-t^) -^dt: 6 



s=a sen" Feos F -I '-^ a sen" VdV. 



Pero, si consideramos otra espiral sinusoide, definida por la ecuación 



l+-2« 



(n \ " 

 sen fi| , la longitud, s., del arco de esta curva, com- 

 l + 2n ) 



prendido entre los puntos donde las tangentes forman con los radios vec- 

 tores de los puntos de contacto ángulos iguales á Fq y F¡ , tendrá por ex- 

 presión 



R, =a ^^-^^ sen » VdV. 



Y así se ve que entre s y s^ existe la relación (Bessani, 1. c, p. 29) 



s = (Pi — Pu) eos F + - sj. 



1 -|- 2m 



Cuando sean 0^, = O y Oj = , ó cuando el arco que se pretende rec- 



2« 



tificar sea mitad de la primera rama de la curva, hállase que /q = y ¿j = l; 



y, por lo tanto, 



s=^rt^-\i-t^)-^dt=^BÍ^,\\ 



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