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Y ésta será la ecuación de la curva, expresada en coordenadas esfé- 

 ricas. 



642. Para determinar el área esférica limitada por la espiral de que 

 se trata,. por el ecuador CAB y por el meridiano PA, procederemos como 

 sigue: 



De la fórmula general bien conocida de Geometría irifinitesimal, apli- 

 cable á la determinación del área de las superficies curvas, referidas á 

 coordenadas polares. 



se deduce en este caso particular, por ser p cantidad constante, esta otra: 



U= rrp2sen9rfxrf9. 



Y como en los límites del área pedida O varía desde — hasta -~, y f des- 

 de O hasta 2 ti, aquella área tendrá por expresión 



d'f I s< 



ó, después de integrada, 



D"=4p2. 



En la cual está compendia'ia la siguiente proposición, debida á Pappo 

 (prop. 30.'^ del libro IV de la obra citada): el área esférica limitada por la 

 espiral, por el ecuador y por el meridiano inicial, vale tanto como el 

 cuadrado del diámetro de la esfera. Resultado muy notable por constituir 

 el más antiguo ejemplo de la cuadratura de una superficie curva. 



643. Con igual sencillez podemos determinar también el volumen del 

 sólido limitado por la porción de la superficie de la esfera comprendida 

 entre la curva y el ecuador, por el ecuador y por el cilindro recto que pasa 



