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Y por medio de esta ecuación, ó de la anterior, adviértese que te 

 aumenta indefinidamente cuando 9 disminuye y se aproxima indefinida- 

 mente también á 0: luego la curva posee la forma de una espiral, com- 

 puesta de un número infinito de vueltas descritas alrededor del polo P, 

 al cual de continuo se aproxima sin jamás alcanzarle. 



659. Propongámonos ahora encontrar la proyección estereográfica de 

 la loxodromia por referencia al polo P', 6 la intersección con el plano del 

 ecuador del cono que tiene por vértice el polo P' y por directriz la mis- 

 ma loxodromia. 



Las coordenadas polares del punto C ó de la proyección estereográfica 

 del M de la curva son la longitud tp del mismo punto M y \a recta OC^r, 

 Mas, por ser MN perpendicular á OP, 



CO OP' 



MN P'N 

 6, por cuanto NM-= a sen9 y NO = a cosO, 



Luego 



asen9 a-\-acoaH 



a sen 9 . 1 



1 + cosO 2 



íitang— 9 = ae ta^gi^: 



ecuación polar de la proyección estereográfica de la loxodromia relativa- 

 mente al polo P , que, según esto, es una espiral logarítmica. 



(}6(). De la loxodromia trató por vez primera el ilustre geómetra por- 

 tugués Pedro NuSez en 1537, en su Tratado en defensao de carta de ma- 

 rear, y en 1546, en su obra titulada De arte atque ratione navigandi, 

 donde consignó los primeros principios de la teoría de aquella curva, que 

 le sirvieron para resolver el problema náutico de « hallar el derrotero de 

 una nave para que ésta corte todos los meridianos por donde pasa, formando 

 con ellos un ángulo constante». Después estudiaron la misma curva Ste- 

 viN en su Precis de Géographie y Snellius en su Tiphys Batavus. 



En las Phylosophical Transactions del año 1596, Hallev demostró 



