523 — 



por la curva. Pues, en términos generales, el volumen V de un sólido geo- 

 métrico entre determinados límites tiene por expresión 



=//' 



f{r cosf, rseB(ci)rdrdf, 



suponiendo que r representa el radio vector de la proyección de M sobre 

 el plano coordenado xy, y z = f{x,y) la ecuación de la superficie del 

 mismo sólido. Y como, en el caso ahora considerado, 



f{r costp, r sencp) == yp^ — x^ — y^= Vp^ — ^^' 



y la ecuación de la proyección de la espiral sobre el plano del ecuador es 



o ? 



r = p seno = p sen -j-; 



concluyese que 



F= p"íítp P \/p2 _ ^2 . rdr; 



ó, integrando, 



'P«-4 



F=-^p3. 



9 



644. La rectificación de la espiral de Pappo depende de la de un 

 arco de elipse. 



Pues, en efecto, si por x, y y x, designamos las coordenadas cartesianas 

 de los puntos de la curva, hállase que 



tp CD m 



a; = p sen -j COSÍ", ^ = p sen -j sentp, y ;j; = pcos-^, 



y por lo tanto, representando por x' , y' y z las derivadas áe x, y y x, re- 

 lativamente á 'f , 



s = I ■ y.V^ + y'^ + «'2 df = pC'^ \/~ + ^®°^ ~ ^f- 



