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 hállase que 



1 '" Va {a— z) , C \ladx, „ „ 



Jo \az — x^ Jo 



\az — x^ Jo \x 



Resultado éste encontrado por Roberval, quien le dio á conocer en su 

 Traite des Indivisibles (Mémoires de VAcadcmie des Sciences de Pa- 

 rís, 1730, p. 213). 



(>48. El ilustre astrónomo d'Arrest (Nouvelles Annales de Matké- 

 matiques, t. xiv y xv, p. 401 y 53) advirtió por vez primera que la cur- 

 va de ViviANí es la proyección estereográfica de una lemniscata de Ber- 



NOULLI. 



Para demostrar lo cual, por referencia á la misma esfera anteriormente 

 considerada, supondremos trazada en el plano coordenado XY la lemnis- 

 cata que tiene por ecuaciones 



Imaginemos además un cono que tenga por vértice el punto (O, O, — a) 

 y por directriz la lemniscata considerada. 



Las ecuaciones de la generatriz de este cono son 



X = Je y, z -{- a = ly. 



Eliminando las x, y y % entre estas ecuaciones y las de la lemniscata, 

 obtiénese la ecuación de condición para que la generatriz encuentre á la 

 directriz 



(A:2 + 1)2 = (A-2_1)¿2. 



Y eliminando después las k y I entre esta ecuación y las de la generatriz, 

 encuéntrase finalmente para ecuación del cono considerado la siguiente: 



Esta ecuación y la de la esfera determinan una curva, cuya proyección 

 sobre el plano xy se obtiene por eliminación entre ambas de la x, y la 

 cual tiene por ecuación esta otra: 



(«•■^ -f 2az + a2) (¿2 -f íy2 _ „.) ^ o. 



