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centro de transformación, y traslademos el origen á este punto; las ecua- 

 ciones de la cíclica son 



{X + .r.,f + (y + í/i)2 + (í + X.,f = R\ 



A {X + X, -^fJ^B{y + y^- p)'^ + (7 (^ + ^, - y)2 = 0; 

 y haciendo 



■'^~"LT2 + r2_^Z2 ' ^~ X^ + Y^ + Z^' ^~ X^ + Y^-JrZ^' 

 resulta para las ecuaciones de la transformada 



(R'—x,^-l/,^-z,^){X^+Y^^+Z^~)-2r-(x,X+y,Y+z,Z)-k'^ = 0, 



\A {X, - a)2 + S (y, - ¡3)2 + C{z,- y)^] (Z^ + Y^ + Z^)^ 



+ 2&2 [A (X, - a) A' + B ( í/i - p) r + C (. ^ - y) 2] {X^ + F^ + 2') 



+ fc'' (4^2 + 572 j^ CZ^) = O, 



de las cuales se deducen las siguientes consecuencias: 



1.^ Eliminando ^2 -\-Y'- -\- Z'^ entre dichas ecuaciones, la resultante 

 es de segundo grado: luego la cíclica se transforma en otra cíclica. 



2." Si el centro de transformación está sobre la esfera, se tiene 

 Xj2 _|- y^ -(- 'x,^ z= B?^ y, por consiguiente, la primera de las ecuaciones 

 precedentes se reduce á la siguiente: 



2(x,X^y^Y+x,Z)^Tc^ = (i, 



y la curva es plana. Cambiando la dirección de los ejes coordenados, y 

 eligiendo para eje de las % una perpendicular al plano de la curva, la se- 

 gunda ecuación toma la forma 



(X2 + 72)2 + ^^ (A2 + 72) + U^ = O, 



en la que ii^ y Mo representan funciones enteras de A é 7 de primero y 

 segundo grado, respectivamente. Por tanto, la tratis formada de la cíclica 

 es en este caso una cuártica bicircular. Darboux (1. c.) se fundó en este 



