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Eliminando x, y, x entre estas ecuaciones y la del cono, se obtiene una 

 ecuación homogénea de segundo grado respecto á D^, D^ y D^; y por ser 

 los planos considerados tangentes al cono, debe reducirse á cuadrados 

 perfectos al ser Dy^O, Dg = O, Dg ^ 0. Tendrá, pues, la forma 



(ilfl»! + ND^ — L 2)3)2 = 4:MNDy D^, 

 de donde se deduce 



\/iií V^i + v^ V^ + V¿ V^= 0. 



Basta fijarse en las relaciones, fáciles de demostrar, 



2/2' ^2 2R' ^3 2R' 



para deducir que p^, o^ y p., están ligadas por una expresión de la forma 



/«Pi + A-po + ¿p3 = 0, 



en la cual /¿, k y I son cantidades constantes. 



Recíprocamente, toda superficie representada por una ecuación de esta 

 forma corta á la esfera según una cíclica. 



Para demostrarlo basta poner en esta ecuación 



Pi' = (-^ ~ ooif + (y - ¿/i)'^ + (* - z,f, 

 p./ = {x — x^)^ + {y — y^f + (- — Hf, etc., 



hacer desaparecer los. radicales, y, en fin, sustituir .j;^ _j- |^2_j_ ^2 pQp j^2 

 De este mod(j se obtiene una ecuación de segundo grado ea x, y y z. 



Se ve análogamente que también resultan las cíclicas de la intersección 

 de la esfera con las superficies representadas por las ecuaciones 



Api + A;p2 = /; Pip2='«- 



A estas cíclicas se les dieron respectivamente los nombres de cartesia- 

 nas esféricas y cassiiiicas esféricas. 



