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de otras tantas hélices como valores particulares se atribuyan á la cons- 

 tante c^. 



682. Las hélices son lineas geodésicas de las superficies cilindricas á 

 que corresponden. 



Si planificamos, en efecto, la superficie cilindrica considerada, y toma- 

 mos la recta AY (fig. 169), correspondiente á la CA de la 123, para eje 

 de las ordenadas, y la AX, correspondiente á la curva APB, como eje 

 de las abscisas, las coordenadas 

 {x , y') del punto correspondien- ^ 

 te al punto M, serán 



x' = AP' = 

 y' = MP' 



s, é 



Y, en consecuencia, hallaremos 

 y' = ex' 



Fisura 169. 



como ecuación de la transforma- 

 da de la hélice, la cual representa una recta. 



Bastando ahora atender á que con la planificación del cilindro no se 

 altera la longitud de las líneas trazadas sobre su superficie, para concluir 

 que la hélice es una linea geodésica de esta superficie. 



683. Tomando el arco s por variable independiente, puédese dar á las 

 ecuaciones de la hélice la forma 



£p = ?(s). y = 'H^)> ^ = cs, 



y hallar fácilmente sus radios de curvatura y de torsión. Para lo cual 

 basta aplicar al caso particular de que se trata, las fórmulas generales co- 

 nocidas 



R = 



jx'^ + y'^ + x'^) 



'2\2 



[{x ¡r - y' x"f + {x' z" - x x"f + (y' x" - x y"f]^ 



{x' y" - y' x"f + (x' X- - z' x"f + {y' x" - x y")^ 

 («' y" — y' *") x'" -\- (a?' ^" — -' x") y'" + iy' x" — x' y") x" 



