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r 



6 que en las hélices cilindricas es constante la razón — del radio de tor- 



R 



sión al radio de curvatura. 



V 



684. E inversamente , sí la razón — del radio de torsión para el ra- 

 il 



dio de curvatura de una curva es constaiite, la curva será una hélice ci- 

 lindrica. 



Teorema debido á Bertrand {Journal de Lioüville, t. viii, 1843), 

 demostrado por Serret del modo que á continuación se expresa. 



Sean (a, a', a"), {b, V , b"), (c, c', c") los cosenos de los ángulos de la 

 tangente, de la normal principal y de la binormal, con los ejes coordena- 

 dos, cantidades entre las cuales existen nueve relaciones, conocidas por 

 el nombre de fórmulas de Frenet, seis de las cuales dicen como sigue: 



representando por Sj la longitud de los arcos de la curva considerada. 



f 

 Poniendo en estas ecuaciones = ni, háilanse por de pronto estos 



resultados : 



da da' da" 



— ■ = — - = — - = 'w; 

 de de" de' 



é, integrando, 



a = me -\- A, a = me -\- B, a" = m,c' -j- C; 



en donde A, B, C representan cantidades constantes, dos de ellas arbitra- 

 rias y la otra determinable por la ecuación 



^•2 -\-B^-\- C- = {a— mcf + (a' — mc'f + (a" — mc'f = 1 + m^, 



resultante de las ecuaciones anteriores y de las siguientes, condicionales: 



a2 + a'2 + a"^=l, c'^ + c'^ + c'"-^ = 1 , ac -^ a' c -^ a" c" = Q. 



