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 Luego las precedentes podrán también escribirse como sigue: 

 x-== as costp tangO, ?/ ^ acp sena tang9 y x^^a^. 



690. Por ser p = íiif tang9, la ecuación de la curva descrita por la 

 proyección P del punto M, cuando éste describe la hélice sobre el cono, 

 se ve que la proyección de aquella hélice cónica sobre cualquier plano, 

 perpendicular al eje del cono, es una espiral de Arqulmedes. 



691. Y por ser también respectivamente iguales á cos'f sen 6, sen-f senO 

 y cos^t los cosenos de los ángulos formados por la recta O A con los ejes 

 de las X, de las y y de las x; é iguales asimismo y por idéntico orden á 



, — ^ y los cosenos de los ángulos formados por la tangente á la 



ds ds ds 



curva en el punto M con los mismos ejes; y porque á estas igualdades 



pueden agregarse además las cuatro siguientes, de muy fácil deducción, 



■ — '■ — = a tangfi (coses — -isentp), 

 do 



— ^= a tangS (sentp -(- cp cos'f), — — = a, 

 df íZ'f 



— = a Vtang2 9(l + í2) + l, 

 (¿tp 



concluyese que el coseno del ángulo w, formado por la tangente á la cur- 

 va con la generatriz del cono correspondiente al punto de contacto, se 

 hallará expresado por la fórmula 



d.v ^ . dy f, , dx „ 



cosw = coscp sena -| ^sentp senQ -\ cosa 



ds ds ds 



cosw 



Vl+ f sen^Q 



692. Y la longitud de los arcos de la hélice cónica por esta otra: 

 -^ fVl + tp^sen^Oíícp 



cost 



- — r« (1 + f sen2 0)¥ -] ?— log(o senO + Yl + tp2 sen2 (,)]. 



cosO L senS ' j 



2 eos 



