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á 2r\, y se extiende indefinidamente en el sentido de las x positivas y ne- 

 gativas, teniendo el eje Ox por asíntota. Las cuerdas paralelas al plano zy 

 quedan divididas en partes iguales por la recta OA , que es, por consi- 

 guiente, eje de la curva. 



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 715. Haciendo -^ = tang¿ (llamando t al ángulo BOA), puede darse 



á las ecuaciones de la horóptera la forma 



x = 2r cos^ /; ¿/ = '■ sen 2t, z ^ 2_. 



Aplicando á estas últimas la ecuación general del plano osculador 



A(X — x)-^B{Y—i/)-^ CiZ—z) = 0, 

 en las que 



A = z'y" — y' x", B = x'z" — z' x", C=y'x" — i'' y", 

 se obtiene en primer lugar 



A = Í!L_sen3í, B= ^^' cosSt, C=—8r^, 



\ cos-^ t Icos^ t 



y también 



Ycos3í — Xsen3t—2)'kcos^t-\- Srcosí sen2¿ = 0. 



Por medio de estas ecuaciones se ve, haciendo ^Y = O é Y= O, que el 

 plano osculador en el punto (x, y, x) corta al eje OZ en un punto cuya 

 ordenada es 3a (Stuyvaert, 1. c). 



710. Aplicando á las mismas ecuaciones las fórmulas generales de los 

 radios de curvatura y torsión, que representamos por R y T, respectiva- 

 mente, se deduce 



p _ (1 + 4/2 r2cos4 ty^ 1 + 4)2r2¿osG t 



n , i = . 



4 /• X2 cos3 < ( 1 + 4 X2 ,-2 cosG o 2 3 A eos- í 



