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Estas igualdades manifiestan que en el punto A dichos radios tienen los 

 valores 



1-f 4).V^ l + i'K^r^ 



y que la curva no tiene puntos reales en los cuales el plano osculador sea 

 estacio7iarío. 



717. Eliminando x é y entre las ecuaciones (1) y la ecuación 



ax -\- by -\- cz ~{- d=0, 



se obtiene una ecuación de tercer grado en «.Por consiguiente, la horóp- 

 tera pertenece á la clase de curvas algébricas que se conocen con el nom- 

 bre de cúbicas alabeadas, y que están caracterizadas por la circunstancia 

 de poder ser cortadas por un plano arbitrario en tres puntos. 



Fueron estas curvas consideradas por primera vez por Mobiüs, y han 

 sido, después, objeto de muchos é importantes trabajos, que no citaremos, 

 limitándonos á decir que en el Treatrise on the anahjtic geonietry de Sal- 

 món se consagran algunas páginas á su estudio analítico, y en la obra de 

 D. E. ToRROJA, titulada Teoría geométrica de las líneas alabeadas, etc., 

 se dedica un capítulo á su estudio geométrico. 



X 



CURVAS DE BERTRAND 



718. Bertrand demostró en una Memoria publicada en 1850 en el 

 tomo XV del Journal de Liouville, que existe una clase de curvas tales 

 que á cada una se puede asociar otra que tiene las mismas normales 

 principales. A estas curvas se las designó con el nombre de curvas de 

 Bertrand. 



Sean (C) y (C") dos de estas curvas; {x, y, z) y (x^, y^, z-¡) las coor- 

 denadas de dos puntos correspondientes; i? y í- los radios de curvatura y 

 de torsión de la curva (C) en el punto {x, y, x); {a, a', a"), {b, b', b") 

 y (c, c',c") los cosenos directores de la tangente, de la normal principal y 



