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En el caso de ser r, <&, la cantidad A es positiva; y, por lo tanto, tam- 

 bién lo es la cantidad vip^ _] . En el caso de ser r,> i, A es negativa; 



pero dando á p^ su valor mínimo y^ — 'r?, vese que la cantidad r,p2 j_ A 



--rr, vese que la cantiaaa op^ -|- 

 es positiva; en efecto, la desigualdad 



■'? if - ■'?? > {y?- a'-^) {;>? - ¡32) (r,2_ y2) 



da la siguiente: 



l> ^''-^ , 



■r? - c2 < y 2, 



la cual es verdadera. El binomio considerado 7ip2 -)_ -^ es, por lo tanto, 



'? 

 siempre positivo cuando se da á p2 su mínimo valor. 



La igualdad (1) hace ver que cp crece, cuando p decrece desde y ¡i^ _ .^,2 



hasta V"-^ — f? ^ Vy^ — i?. El arco considerado de la curva (arco ABC 

 de la figura) se aproxima cada vez más á la circunferencia interior á me-- 

 dida que o aumenta. 



Los otros arcos de la herpollodia son iguales al anterior, y gozan de la 

 misma propiedad de ser tangentes á las dos circunferencias consideradas. 



720. Suponía Poinbot que su herpollodia tenía puntos de inflexión; 

 pero Hess demostró, en un opúsculo intitulado Das Rollen einer F lache 

 xiveiten Grades anf einer invariabeln Ebene (Munich, 1880), la inexac- 

 titud de esta afirmación. La misma observación hizo después el Conde 

 DE Sparre en los Compies rendas de l'Académie des Sciences de París 

 (1884) y en la Memoria anteriormente citada. Sparre se fundó, para de- 

 mostrar este teorema, en la teoría de las funciones elípticas; empleare- 

 mos aquí, para el mismo fin, un método más elemental, seguido por Ke- 



SAL {1. C). 



La'ecuación diferencial de la herpollodia da, ya sea o una cantidad po- 

 sitiva 6 negativa, 



