HOTA AL HUMERO 48 



Vamos á reproducir aquí una demostración del teorema utilizado en el 

 Núm. 48, relativo al número de tangentes á una curva que se pueden 

 trazar por un punto de ella, publicada en el t. Vil, p. 138 de L'Enseigne- 

 ment malhématique. 



Sea 



la ecuación de la curva considerada, de grado m. 



La ecuación de su primera polar, respecto al punto (í;,, ?/,), es, según 

 se sabe, la siguiente: 



dx dy 



siendo su grado {rn — 1). 



También es sabido que estas curvas se cortan en los puntos de contac- 

 to de las tangentes á la primera, trazadas por el punto (¿Cj, y^. 



Esto dicho, vamos á demostrar el siguiente lema: 



'S'* (^1, yi) es un punto múltiple de orden k de la curva considerada, 

 es también midtiple del mismo orden de su polar, siendo tangentes entre 

 sí las k ramas de la curva y las k de la polar que pasan por aquél. 



Se puede considerar como comprendido en este enunciado el caso de 

 un punto simple, que corresponde á la hipótesis Jc = l. 



Para demostrar el precedente lema, escribamos la ecuación de la curva 

 del siguiente modo: 



f{Xi + x — x^, y^-\- y —y^) = Q, 



