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 Luego 



rfp c 



■ senOdtc. 



p Vi - ' 



E integrando esta ecuación, 



p = e""", a = — -=■ sen9. 

 Vi — c^ 



Las ecuaciones de la hélice cilindro-cónica serán, pues, éstas: 



(1) x = e*** eos -fl , y = e"-'^ sea'f y s: = e"'í'cot9. 



A las tres últimas ecuaciones precede, expresada en coordenadas pola- 

 res, esta otra, p = e"'^, correspondiente á la proyección de la hélice cilin- 

 dro cónica sobre el plano de las xy, 6 sobre la base del cono, represen- 

 tada por una espiral logarítmica: lo que constituye una propiedad muy 

 interesante de la misma hélice. 



(jíM). El coseno de los ángulos to formados por las tangentes á la 

 curva en primer término considerada, con el eje de las x, se baila expre- 

 sado por la fórmula 



dx a cotQ 



costo : 



y¡dx^-\-dy'^+dz^ V«^ + 1 + «^ cot^ 9 



Y, por lo tanto, el ángulo w será constante, y la curva á que corres- 

 ponde coincidirá (Núm. OSl) con una hélice cilindrica, trazada sobre la 

 superficie de este nombre, que tenga por base la espiral logarittnica ante- 

 riormente considerada. Circunstancia que justifica el calificativo de cilin- 

 dro cónica aplicado á la hélice de qne ahora se trata. 



607. Al estudiar las propiedades de la espiral logarítmica quedó de- 

 mostrado (Núm. 440) que la curva de este nombre da un número infinito 

 de vueltas alrededor del punto O, aproximándose á él indefioidamente sin 

 llegar á encontrarle nunca: luego la hélice cilindro cónica da también un 

 ilimitado número de vueltas sobre la superficie del cono, aproximándose 

 indefinidamente á su vértice sin jamás alcanzarle. . 



698. De lo que se dice en el Núm. 696 se infiere que, planificando el 



