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 De la primera y la última se deduce 



resultando por integración 



K r 



representando h una constante. 



Resulta, pues, que las curras de Bertrand estíín caracterizadas por la 

 existencia de una relación lineal entre la curvatura y la torsión (Ber- 

 trand, 1. c). 



El método que hemos empleado para llegar á este resultado, se debe á 

 J. A. Serret (Journal de Liouville, t. XVI). 



719. Las ecuaciones (7) y las siguientes 



a2 + a'2 + a"2 = 0, h'^ + h"^ + V"^=l, c'- + c'^ + c"^= I , 

 ac -\- a' c' -\- a" c" = O, 

 dan 



^ ds^- \ R) r- r2 



Si observamos ahora que (C) es una curva de Bertrand que satisface 

 á la ecuación que resulta permutando en (S) / y — /, se obtiene 



2 



llamando r^ al radio de torsión de (C"). 



Resulta, por consiguente, rr^ = P _|_ /¿2. ¡^ q„e demuestra que el pro- 

 ducto de los radios de torsión de (C) y (C), en los puntos (x, y, x) y 

 {x^, y^, x^), es constante. 



720. Si representamos por co el ángulo de las tangentes á (C) y (C) 

 en los puntos {x, y, x) y {:i\, y^, x^), se tiene 



costo = aa^ -{- a' a\ -j- a'\ a'\, 



