- Gil — 



Basándonos en el anterior lema, vamos á determinar el número de tan- 

 gentes que se pueden trazar á una curva dada por el punto (cc^, ?/j). 



Supongamos primero que la curva tiene solamente un punto múltiple, 

 que coincide con (fj^, ?/j), y que sea k su orden. 



La curva dada y su polar se cortan en m {m — 1) puntos, y uno de es- 

 tos puntos coincide con [x^, y^. 



Ahora bien, siendo este punto del orden de multiplicidad Te en la curva 

 y en la polar, representa /v^ intersecciones, Pero como las k ramas de la 

 curva Eon tangentes á las /,: ramas de la polar, cada rama de aquélla tiene 

 aún otro punto común con la polar. Por consiguiente, el número de inter- 

 secciones de la curva y de su polar, distintas de (íCp í/^), es igual á 



m(m — 1) — /í(/c + l). 



Ahora bien, estos puntos coinciden con los puntos de contacto^de las 

 tan gentes á la curva, trazadas por (íCj, y^; resulta, por consiguiente, re- 

 presentando el número de estas tangentes por t, 



t = m{m — l) — k{k+ 1). 



{Sa.\moü : Hig/ier platie Curves). 



Si (ojj, ijj) es un punto simple, se verifica aún la fórmula anterior, su- 

 poniendo entonces k = 1. 



Si la curva dada tiene o puntos dobles y v puntos de retroceso, distin- 

 tos del. {x^, tjj), el valor de / se puede obtener con facilidad, empleando 

 el método de que habitualmente se hace uso para demostrar aquella de las 

 fdrmulas de Plücker que determina la clase de la curva, y el lema de- 

 mostrado anteriormente. De este modo resulta 



í = m {m — l) — 2o — 3v — k (k + 1). 



