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suivant laquelle se coupent deux zoues est douée de la symétrie de retour- 

 nement. Réciproquement, si une arête est inverse à elle-même et douée de 

 la symétrie de retourneiuent, il s'y coupera deux zones. 



» Théorème III. — Tout polyèdre inverse à lui-même appartient à l'un 

 des dix-huit types suivants : 



!'■' CLAS5E. — Polyèdres dont les aspects directs sont différents. 



» Cette classe présente deux tvpes de polvèdres inverses à eux-mêmes. 

 » Premier type. Il existe des éléments et arêtes inverses à eux-mêmes et 

 situés sur une zor.e unique s. 



» Deuxième type. Il n'existe ni éléments ni arêtes inverses à eux-mêmes. 



Il'' CLASSE. — Polyèdres symétriques par rotation. 



» Cette classe fournit trois tvpes de polvèdres inverses à eux-mêmes. 



» Premier type. Chacun des éléments uniques S et T est inverse à lui- 

 même. L'ordre de la rotation étant k, on peut tracer autour du polvédre 

 k zones méridiennes se coupant aux deux pôles S et T. 



» Deu.xième type. S est l'inverse de T et réciproquement. Il existe des 

 éléments ou arêtes inverses à eux-mêmes et formant autour du polyèdre 

 une zone équatoriale unique. 



» Troisième type. S est l'inverse de T et réciproquement. Il n'existe ni 

 élément ni arête inverse à lui-même : k lignes géodésiques pareilles 

 L, L,,..., Lji_|, convenablement tracées entre S et T, découpent la surface 

 du polyèdre en A" fuseaux pareils, partagés chacun en deux régions inverses 

 l'une de l'autre par l'une des lignes A,..., A^_,, inverses de L,..., Ljt_, . 



in' CLASSE. — Polyèdres symétriques par rotation et retournement. 



» Type unique. Il existe deux zones méridiennes se croisant suivant l'élé- 

 ment unique, et suivant l'arête à retournement. 



IV' CLASSE. — Polyèdres symétriques par retournement. 



n Premier type. Chacune des arêtes uniques S et T est inverse a elle- 

 même. Il existe deux zones méridionales se croisant suivant ces deux arêtes 

 et découpant la surface du polyèdre en quatre régions. 



» Deuxième type. L'arête S est l'inverse de T et réciproquement. Il existe 

 des éléments ou arêtes inverses à eux-mêmes et formant autour du polyèdre 

 une zone équatoriale. 



» Troisième type. L'arête S est inverse de T et réciproquement. Il n'existe 



