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GÉOMÉTRIE. — Recherches sur les polyèdres; second Mémoire : Théorie des 

 aspects rétrogrades; ])ar M. C Jordan. 



(Commissaires : MM. Chasies, Bertrand, Serret.) 



« Dans un précédent Mémoire nous avons défini d'une manière précise 

 les aspects tant directs que rétrogrades des polyèdres, et nous avons assigné 

 dans quelles circonstances plusieurs des aspects directs que présente un 

 même polyèdre peuvent devenir semblables entre eux. Pour compléter cette 

 étude, il nous reste à traiter des aspects rétrogrades et à les comparer soit 

 entre eux, soit avec les aspects directs. 



» Nous avons obtenu à cet égard les résultats suivants : 



» Définitions. — Deux polyèdres sont dits inverses l'un de l'autre si les 

 aspects directs de l'un sont respectivement semblables aux aspects rétro- 

 grades de l'autre. 



» Deux arêtes ou éléments E et C appartenant à un même polyèdre sont 

 dits inverses si l'on peut déterminer deux aspects semblables A et JU l'un 

 direct, l'autre rétrograde, et relativement auxquels ils portent le même 

 numéro. 



» Théorème I. — La similitude de deux aspects directs entraîne celle 

 des aspects rétrogrades correspondant aux mêmes sommets et arêtes, et 

 réciproquement. 



X Théorème II. — Soit P un polyèdre inverse à lui-même et qui de plus 

 soit pareil à lui-même sous certains aspects directs en nombre p : on pourra 

 déterminer d'une infinité de manières un polyèdre n, à faces planes ou 

 gauches, pareil à P, superposable à lui-même sous les p aspects relativement 

 auxquels? est pareil à lui-même, et qui sera de plus symétrique à lui-même 

 par rapport à un plan ou à un point donné. 



» Lemmes. — Si le polyèdre considéré P présente des éléments ou arêtes 

 inverses à eux-mêmes, ils dessinent autour du polyèdre une ou plusieurs 

 zones continues. Ces zones partagent le polyèdre en un certain nombre de 

 régions. Ces régions sont de deux espèces seulement, deux régions conti- 

 guës étant inverses l'une de l'autre. 



» Si A- zones se coupent suivant un même élément, il y a une rotation de 

 l'ordre k autour de cet élément; réciproquement, si un élément est inverse 

 à lui-même et doué d'une rotation de l'ordre k, il s'y croisera k zones. 



» Il ne peut se couper plus de deux zones suivant une arête. Toute arête 



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