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)) Dans ce cas, les quatre cônes doublement circonscrits se coupent sui- 

 vant une même courbe du quatrième ordre, qui forme l'arête de rebrous- 

 semeiit de la développable. 



» 7. Chacune des courbes G, G', G", G" est tangente en quatre points au 

 cône doublement circonscrit, dont le sommet se trouve au sommet opposé 

 du tétraèdre ABEF. 



» Les quatre points de contact sont les sommets d'un quadrilatère qui 

 a les points de concours de ses côtés opposés, et le point d'intersection de 

 ses diagonales au sommet de la face du tétraèdre sur laquelle se trouve 

 celle des lignes G, G', G", G'" que l'on considère. 



)> 8. Les traces des quatre cônes doublement circonscrits à la surface 1,, 

 sur les plans des faces du tétraèdre respectivement opposées à leurs sommets, 

 appartiennent, comme coniques doubles, à deux surfaces 2, de telle sorte 

 que toute droite qui rencontre trois de ces courbes a un point sur la qua- 

 trième. 



» Réciproquement, lorsque quatre coniques sont des lignes doubles 

 d'une surface réglée, les cônes qui ont ces lignes pour directrices, et dont 

 les sommets sont respectivement aux sommets opposés du tétraèdre formé 

 par leurs plans, sont touchés par toutes les génératrices de deux sur- 

 faces 1,. 



Nouvelles observations sur la surface réglée qui possède quatre lignes doubles du second ordre 



» Les théorèmes corrélatifs de ceux qui viennent d'être exposés donnent 

 pour la surface 2 de nouvelles propriétés qu'il serait trop long de déve- 

 lopper dans cet extrait. 



» M. Chasles a démontré que des surfaces du second ordre homofocales 

 doivent être considérées comme inscrites dans une même développable. Je 

 me suis proposé d'étudier leurs conjuguées 1. J'ai trouvé que ces surfaces 

 coupent les homofocales suivant leurs lignes de courbure. Le système des 

 conjuguées 1 comprend des surfaces réelles et des surfaces imaginaires. 

 La développable circonscrite fait toujours partie de ces dernières. 



» Il peut exister sur une surface du second ordre deux lignes de 

 courbure qui appartiennent chacune à un cylindre de révolution ayant 

 pour axe l'un des axes principaux. Le lieu de ces lignes de courbure, pour 

 l'ensemble des homofocales, forme deux conoîdes droits qui sont les li- 

 mites des conjuguées réelles 2. » 



