( "7) 

 points doubles de la seconde; appelons G et G' ces courbes, E et F les 

 points doubles communs, A et B le troisième point double de G et le 

 troisième point double de G', enfin D la droite qui passe par les points E et 

 F; formons sur la droite D deux divisions homographiques, sous la seule 

 condition que E et F en soient les points doubles; concevons des faisceaux 

 avant pour centres les points A et B, et dont les rayons passent respective- 

 ment par les points des deux divisions de D; joignons enfin par des droites 

 ks rencontres des rayons du faisceau A avec G, aux points où les rayons 

 homologues du faisceau B coupent G' : le lieu de ces droites est une surface 

 du huitième ordre sur laquelle les courbes G et G' sont doubles, et qui 

 possède trois autres lignes doubles du quatrième ordre; deux d'entre elles, 

 G" et G'", sont sur les plans ABE et ABF, la dernière est gauche. 



» 2. Il y a un parallélisme complet entre les propriétés des courbes 

 G, G', G", G'" considérées en elles-mêmes ou pour la génération de la sur- 

 face. Les douze points doubles de ces quatre courbes coïncident trois par 

 trois. 



» 3. La surface est doublement inscrite dans quatre cônes du second 

 ordre dont les sommets coïncident avec les points doubles des courbes 

 planes du quatrième ordre, et par suite elle est corrélative de la surface 

 1 qui possède quatre lignes doubles du second ordre. Je l'appellerai 2, . 



» 4. La surface 1, admet quatre plans tangents à chaque sommet du 

 tétraèdre ABEF. Les six tangentes des trois courbes du quatrième ordre 

 qui passent à un sommet sont trois par trois dans ces quatre plans. 



» 5. Pour que trois courbes planes du quatrième ordre appartiennent 

 à une surface 2,, il faut : i° que chacune d'elles ait un point double au 

 point d'intersection de leurs plans; 2° que leurs autres points doubles 

 coïncident deux à deux ; 3" que leurs six tangentes au premier point soient 

 trois par trois dans quatre plans. 



« Quand ces conditions sont satisfaites, les trois courbes sont sur quatre 

 surfaces 2, qui ont en commun une quatrième courbe plane du quatrième 

 ordre. 



)• Toute surface 1, se trouve ainsi associée à trois autres surfaces de 

 même génération, dont une au moins est réelle. 



M 6. Quand les rayons homologues des faisceaux A et B sont les po- 

 laires d'un même point de la droite D, la surface 2, devient développable; 

 elle se confond alors avec une des trois surfaces qui lui sont associées; les 

 autres sont imaginaires. 



