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GÉOMÉTRIE. — Sttr une surface réglée du hukièine ordre qui possède cinq 

 lir/nes doubles du quatrième ordre. Mémoire de M. de la Gocunerie, 

 présenté par M. Chasles. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Chasles, Bertrand.) 



« ]'ai soumis récemment à l'Académie un Mémoire sur une surface résrlée 

 du huitième ordre qui possède quatre lignes doubles du second ordre. Dans 

 le travail que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui, j'étudie la surface 

 corrélative qui comprend, comme variété, la développable osculatrice de 

 la courbe gauche du quatrième ordre (première espèce), surface dont 

 iM. Chasles a fait connaître un grand nombre de propriétés. 



» Plusieurs des propositions corrélatives de celles que j'ai établies dans 

 mon premier Mémoire me paraissent offrir beaucoup d'intérêt, mais dans 

 cet extrait je ne parlerai que des théorèmes qui sont entièrement 

 nouveaux. 



» On sait que la courbe plane du quatrième ordre peut avoir trois 

 points doubles; je les appelle A, E, F. Il existe une variété de cette courbe 

 dans laquelle les deux tangentes en l'un quelconque des points doubles A 

 sont conjuguées harmoniques des droites AE, AF, qui vont de ce point aux 

 deux autres points doubles. Dans cette variété, si une sécante passe par un 

 point double A, ce point et celui où elle coupe la droite EF déterminée 

 par les deux autres points doubles, sont conjugués harmoniques des deux 

 points simples M et N où elle rencontre la courbe. Les tangentes aux points 

 M et N se coupent sur la droite EF en un point P que j'appellerai le pôle df 

 la sécante AMN. Le point P est toujours réel, même quand les rencontres 

 M et N sont imaginaires. Tout point de la droite EF est le pôle de trois 

 sécantes passant par le point A; l'une d'elles est réelle, les deux autres 

 imaginaires. J'appellerai la première la polaire du point P. 



1) Dans cet extrait, toutes les fois que je parlerai d'une ligne plane du 

 quatrième ordre, il faudra comprendre que cette courbe appartient à la 

 variété qui possède trois points doubles, et dans laquelle les tangentes, en 

 l'un de ces points sont conjuguées harmoniques des deux droites qui sont 

 dirigées vers les deux autres points doubles. 



Génération delà surface. — Lignes doubles. — Cônes doublement circonscrits. 



» 1 . Considérons dans l'espace deux courbes planes du quatrième 

 ordre, telles que deux points doubles de la première coïncident avec deux 



