( «'5 ) 



•• Grâce à la nouvelle interprétation géométrique que j'ai l'honneur de 

 signaler à l'Académie, le lieu de toute équation algébrique à deux variables 

 s'étend indéfiniment et sans discontinuité dans le plan des axes : il est indé- 

 pendant des changements d'axe, pourvu qu'on étende aux brisées dont les 

 côtés sont des couples le théorème fondamental des projections. Enfin, les 

 niélhodes des tangentes, des asymptotes, etc., s'appliquent à toutes les 

 branches d'un pareil lieu, quel que soit le mode de leurs coordonnées. 



» La conception des couples est susceptible de s'étendre aux surfaces 

 comme aux lignes, et l'on peut distinguer des aires réelles, imaginaires ou 

 mixtes, comme on en distingue de positives ou de négatives à raison de leur 

 situation par rapport aux axes de coordonnées. 



» Si l'on construit en particulier le lieu de l'équation jk^ + x'^ = «', le- 

 quel se compose d'une circonférence et d'hyperboles équilatères ayant un 

 système de diamètres conjugués communs, on est conduit à distinguer des 

 secteurs réels, imaginaires ou mixtes, dont les lignes trigonométriques se 

 définissent comme celles des angles de la Trigonométrie rectiligue, mais qui 

 se prêtent facilement à la démonstration géométrique de formules abstraites, 

 telles que sin(a -f- /3/) = sinacosp/ 4- sin,Sj cosa, etc. 



» On peut également généraliser la définition de Taire comprise entre une 

 branche de coiu'be, l'axe des abscisses et deux ordonnées, l'une fixe et 

 l'autre variable, de telle sorte que la dérivée de cette aire par rapport à 

 l'abscisse soit, dans tous les cas, égale à l'ordonnée correspondante. De là 

 résulte un nouveau moyen d'étudier les propriétés de l'intégrale d'une équa- 

 tion différentielle dont la variable est quelconque. 



1) En appliquant, par exemple, ce genre de recherches à l'équation —■:=—) 

 on commence par construire en coordonnées rectangulaires le lieu de l'équa- 

 tion ^^ = -, et cette construction permet d'interpréter par une aire plane la 



— » aussi bien que le logarithme d'une valeur quelconque z; 



de retrouver par la Géométrie les formules d'Euler relatives à la conversion 

 des fonctions circulaires en exponentielles; de résoudre par une construc- 

 tion simple l'équation binôme, etc. 



» Toutes les conclusions précédentes s'étendent d'ailleurs immédiatement 

 et sans restriction à la Géométrie analytique à trois dimensions. » 



i6.. 



