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car le degré de la surface développable circonscrite à la courbe gauche, 

 que nous avons appelé /-, devient précisément la classe p' de la courbe, 

 quand cette courbe devient plane. 



» Cette analogie est assurément très-digne de remarque. 



» lll. La courbe donnée peut Ti'ètre qu'une partie de l'intersection com- 

 plète de deux surfaces; on aura, par exemple, p = mn — p', et nous sup- 

 poserons que la branche p' soit l'intersection complète de deux autres sur- 

 faces. C'est ainsi que la courbe gauche du troisième ordre est l'une des 

 branches de l'intersection de deux hyperboioïdes à une nappe qui ont une 

 génératrice commune, tandis que l'autre branche est l'intersection com- 

 plète de deux plans. 



» Le théorème précédent étant, de la sorte, applicable à la branche p' 

 (dont la développable aura un degré désigné par r'), on trouve aisément la 

 valeur suivante de N : 



N = mn[u.{m -+■ n — i) -t-y] -t- (ftr'-l- vp') — '>.ij.[p'{m -\- n — 2 ) -H r'], 



dans laquelle le dernier terme exprime le double du nombre des points 

 d'intersection des branches p et p'. 

 » On peut écrire 



N = p. {p —p') [m -+- n — 2) -+- ij.r' -i- p.v. 



Or on sait que 



ip- p'){m-hn-2)-h ;■' = ;•('), 



r étant le degré de la développable circonscrite k p; donc 



N = /J../- + v./j. 



Ainsi on retrouve encore ici la formule du cas général, sous la forme simple 

 et caractéristique que nous lui avons donnée. 



» La branche p' peut n'être elle-même que l'intersection partielle de 

 deux autres surfaces, dont l'autre branche serait l'intersection totale ou 

 partielle de deux nouvelles surfaces. Le théorème ne cesse pas d'être vrai 

 dans ce cas, pourvu qu'on arrive ainsi progressivement à une branche ip, 

 qui soit enfin l'intersection totale de deux surfaces ; car il suffit évidemment 

 d'en faire, par voie ascendante, une application répétée. 



(*) Foir le récent et excellent Traité de Géométrie h trois dimensions de M. G. Sairnon 

 (Dublin, 1862), p. 253. 



