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II. 



» Chacun des nombres de ce tableau exprime un théorème ; par exemple, 

 danslesystème(A,B,C,D,P,P',P")EEE(72, io4,G4) ils ont celte signification : 



» Quand des coniques rencontrent quatre droites et touchent trois plans : 



» 1° Les plans de ces courbes enveloppent une déueloppable de la soixante- 

 douzième classe; 



>» 2° Les courbes sont sur une surface du cent quatrième ordre; 



» Et 3° il existe soixante-quatre coniques tangentes à un quatrième plan 

 quelconque. 



» On peut dire encore qu'il existe soixante-douze coniques dont les plans 

 passent par un point de l'espace; cent quatre coniques qui rencontrent une 

 droite, et soixante-quatre coniques qui touchent un plan. 



» Le système (O, A, B, C, P, P') e^(iG, 28, 24) nous apprend que : Si 

 des coniques passent par un point donné, rencontrent trois droites, et touchent 

 deux plans : 



» 1° Le cône enveloppe des plans des coniques est de seizième classe; 



» 2° Les coniques sont sur une surface du vingt-huitième ordre; 



» Et 3° il existe vingt-quatre coniques qui touchent un plan quelconque. 



» Nous n'avons pas formé les systèmes auxquels donne lieu la condi- 

 tion double PA, qui exprime que les coniques touchent un plan en des 

 points situés sur une droite A tracée dans ce plan. Et pourtant ces systèmes 

 sont nombreux, d'autant plus que la même condition peut entrer deux ou 

 trois fois dans le même système; car on peut former des combinaisons 

 (PÂ, 5Z) , (PÂ, FA',3Z) et (PÂ, Va', Wa% Z), la lettre Z représentant 

 des conditions quelconques, simples ou multiples : ce qui fait un si grand 

 nombre de systèmes, qu'on pourrait même, au premier abord, en être 

 effrayé. 



» Mais heureusement ces systèmes se ramènent à d'autres, par la sub- 

 stitution des deux conditions simples A et P à la condition double PA. 

 Cela se fait en vertu du théorème suivant : 



» Le nombre des coniques qui touchent un plan en des puints situés sur une 

 droite tracée dans le plan, et qui satisfont à six autres conditions, est moitié du 

 nombre des coniques qui touchent im plan, rencontrent une droite quelconque, 

 et satisfont aux six mêmes conditions. Ce que l'on exprime très-brièvement 

 par la formule 



N(PÂ,6Z) = ^N(A,P,6Z), 

 dans laquelle N indique le nombre des coniques. 



