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 pace qui rencontrent une droite menée par le point S; et les coniques 

 tangentes à une droite correspondent aux p coniques de l'espace qui tou- 

 chent un plan mené par S. S'il existe, dans le système plan, des coniques 

 infiniment aplaties, il leur correspond, dans l'espace, des coniques dont 

 les plans passent par le point S; et aux coniques représentées par deux 

 droites dans le système plan, correspondent, dans l'espace, des coniques 

 représentées aussi par deux droites, lesquelles ont pour cône circonscrit 

 l'ensemble de deux plans. 



» On pourrait croire, au premier abord, que cette correspondance entre 

 le système plan et le système de l'espace offrirait des facilités pour ré- 

 soudre les questions que nous nous sommes proposées. Mais cette corres- 

 pondance n'est pas absolue, et est rarement utile. Voici en quoi elle n'est 

 pas absolue, ou complète. 



» Les coniques exceptionnelles, pourrais-je dire les quasi-coniques, com- 

 portent un élément qui leur est propre et qni les distingue essentiellement 

 des coniques véritables. C'est qu'elles peuvent être multiples, ce qui a lieu 

 dans la plupart des systèmes de coniques : de sorte qu'il faut distinguer le 

 nombre théorique (av — p) ou (ap — v) qui est absolu, comme je l'ai dé- 

 montré (i), et le nombre effectif, qui est variable avec les conditions qui 

 ont donné lieu aux deux caractéristiques v et p du système. Sans aucun 

 doute, le nombre effectif sera le même sur le plan et dans l'espace. Mais 

 on ne peut pas dire à priori que l'ordre de Uiultiplicité est aussi le même. 

 Et, en effet, cela n'a pas lieu, évidemment, pour les coniques infiniment 

 aplaties. Ces coniques, qui peuvent être multiples dans le système sur le 

 plan, correspondent à des coniques de l'espace, dont les plans passent par 

 le sommet commun des cônes; et celles-ci ne sont point multiples, puisque 

 ce sont des coniques quelconques du système, qui n'ont pas d'autres pro- 

 priétés que toutes les autres. 



■ Il faut donc chercher à déterminer directement, dans chaque système 

 de l'espace, l'ordre de multiplit itë des coniques exceptionnelles (qui sont 

 presque toujours des coniques représentées par deux droites). Cette déter- 

 mination, généralement nécessaire, nous a causé parfois de grandes diffi- 

 cultés, qui n'avaient point eu lieu dans la théorie des coniques sur le plan. 



V. 



i> J'ai pensé que ces recherches sur la théorie des coniques considérées 

 dans l'espace, et celle des cônes du second ordre, devaient trouver place 



(i) Comptes rendus, t. LVIII, p. fin3. 



