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 entre la théorie des coniques sur le plan et la théorie des surfaces du 

 second ordre. 



» Je dirai ici quelques mots de cette théorie des surfaces, parce qu'elle 

 présente un nouvel exemple de la nécessité de distinguer les coniques 

 exceptionnelles des coniques véritables, à raison du caractère de multipli- 

 cité dont les premières sont douées. 



» Soit un système de surfaces satisfaisant à huit conditions : que [j., v, p 

 expriment le nombre des surfaces qui passent par un point, le nombre 

 de celles qui touchent une droite, et le nombre des surfaces tangentes à un 

 plan. Un plan quelconque Q coupe les surfaces suivant un système de co- 

 niques (pi, v). Dans ce système il existe (av — p.) coniques représentées par 

 deux droites. Ces coniques (réelles ou imaginaires) appartiennent à des sur- 

 faces tangentes au plan Q. Et il y a autant de surfaces tangentes que de co- 

 niques effectives représentées par deux droites ( réelles ou imaginaires). Mais 

 on n'est pas fondé à dire que l'ordre de multiplicité dont ces quasi-coniques 

 sont douées se transmet aux surfaces; et qu'il existe (av — p.) surfaces 

 tangentes au plan; d'où l'on conclurait qu'il existe entre les trois caracté- 

 ristiques (x, V, p la relation jx -h p =^ 2V. Évidemment les surfaces tangentes 

 à un plan ne peuvent être multiples, car toutes les autres le seraient aussi, 

 et du même ordre de multiplicité. 



» Il faudrait donc, pour que l'équation p = 2V — /u, eût lieu, que les co- 

 niques représentées par deux droites dans le système [p., v) fussent toutes 

 différentes, et qu'aucune ne fût multiple. 



» Or, cela n'a pas lieu; car on peut démontrer directement que tout 

 système de coniques (fi, v), doué de coniques multiples représentées par 

 deux droites, peut appartenir à un système de surfaces. Il suffit, en effet, 

 de faire passer une surface par chaque conique du système et par quatre 

 points fixes de l'espace. Toutes ces surfaces forment un système satisfaisant 

 à huit conditions, savoir : les quatre conditions communes aux coniques 

 que l'on a prises pour bases des surfaces, et les quatre points par lesquels 

 passent les surfaces. Il est évident qu'à chaque conique représentée par 

 deux droites ne correspond qu'une seule surface. Donc le nombre des sur- 

 faces tangentes au plan des coniques n'est point égal au nombre théo- 

 rique{2v — pi) des coniques représentées par deux droites, mais seulement 

 au nombre ejjectif de ces coniques. Ainsi, les trois caractéristiques d'un 

 système de surfaces n'ont point entre elles la relation ^ -\- p = 2v. 



M Dans un système (fA,v,(5) de surfaces^ il existe des surfaces excep- 

 tionnelles : ces surfaces sont des cônes du second ordre, et des coniques 



