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)) La relation des solutions relatives à un corps et à son transformé réci- 

 proque est uniquement fondée sur les deux théorèmes suivants : 



» 1° Si deux surfaces sont orthogonales, leurs transformées le sont pareille- 

 ment; 



» 2° Le paramètre différentiel du second ordre d' une fonction quelconque U 

 (tu point transformé (M', oc,' j\ z') ne diffère de celui d'une autre fonction V 

 du point primitif {M, oc, j, z) que par un facteur indépendant de lu nature 

 des fonctions transformées l'une dans l'autre. 



n Je me borne aux procédés de transformation qui donnent lieu à ces 

 deux théorèmes. En représentant par 



(à) X' = (f{x,J, z), j' =:f,{x,J, z), z' = <f^{x, /, z) 



les trois formules de transformation, le premier théorème exige que : 



" i" Les surfaces représentées par les équations [a), où .r', )■', z' sont 

 regardés comme des paramètres, soient orthogonales; 



» 2° Les paramètres différentiels du premier ordre de x', j' , z', re- 

 gardés comme fonctions de points, soient égaux. J'appelle F leur valeur 

 commune. 



» Ces conditions étant satisfaites, le second théorème exige que y/F sa- 

 tisfasse à l'équation de la chaleur à l'état stationnaire, et alors Y ^CU\/F, 

 C étant une constante arbitraire. 



» I;es sept équations fournies par les conditions précédentes sont les 

 équations différentielles qui doivent déterminer çj, ç,, «p,. Toutefois il con- 

 vient de les remplacer par d'autres, dues à M. Lamé, et qui s'intègrent 

 beaucoiq) plus facilement. Or cette intégration fait retomber sur les for- 

 mules de la transformation par rayons vecteurs réciproques, laquelle est 

 par conséquent seule à satisfaire à la question. 



» Toutefois, ce résultat cesse d'avoir lieu quand les corps sont des cy- 

 lindres indéfinis. 11 existe une infinité de ces cylindres pour lesquels la 

 loi de distribution de la température est exprimée par une même formule, 

 et les transformations qui permettent de déduire tous ces cylindres de l'un 

 d'entre eux sont celles qui rentrent dans la forme 



X' 



■j'\l—i =<p(x-4- jV- i) 



où l'on peut faire varier la fonction ç), à condition qu'elle soit toujours ce 

 que ^L Cauchy appelait une fonction inonoqène. 



» Cette singulière différence entre les propriétés, relativement à la cha- 



