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 Poisson; il avait simplement en vue la détermination des degrés des coef- 

 ficients des équations proposées dans l'expression d'nne fonction symé- 

 trique donnée, et il s'est borné à montrer comment le problème se réduirait 

 successivement par élimination aux cas où il y a i, 2, 3,. . ., inconnues de 

 moins, et finalement au calcul, par les formules de Newton, des sommes 

 de puissances semblables des racines d'une équation entière à une seule 

 inconnue {voir notamment le Cours d'Alcjèbre supérieure de M. Serret). Ce 

 procédé est absolument impraticable ; le mien a, je crois, un avantage con- 

 sidérable : il fournit immédiatement, et sans faire passer par la série de 

 tous les cas plus simples, des systèmes d'équations linéaires qui ont pour 

 solutions les sommes inconnues et qui peuvent être considérées conune la 

 généralisation la plus exacte des formules mêmes de Newton. Soient : 



(0 f,{t,ll,...,z)^0, f.{t,U,...,z) = 0,..., /^(i, M,...,Z) =: O, 



les équations proposées de degrés m,, m,,..., m^, que je suppose soumises 

 aux conditions suivantes : 1° leurs groupes principaux (je nomme ainsi les 

 polynômes homogènes formés dans chaque équation par les termes du degré 

 le plus élevé) sont disjoints, c'est-à-dire ne peuvent s'évanouir à la fois que 

 pour des valeurs des inconnues toutes nulles ; 2° chaque système de solu- 

 tions est simple, c'est-à-dire ne réduit pas à zéro le déterminant des k- dé- 

 rivées partielles des premiers membres. Je démontre d'abord, en précisant 

 le théorème de Bezout, que les systèmes distincts de racines sont bien au 

 nombre de m,, m,,..., m/,, puis j'établis successivement les propositions 

 suivantes : 



» I. 5/ une fonction entière quelconque F [t, u,..., z) s'évanouit pour tous 

 tes systèmes de solutions des équations (i), on a identiquement 



(2) F=f,(p,-hj2cp2+---+fi,<Pk, 



oùff, çpsvî "P* sont des Jonctions entières indéterminées qu'on peut toujours 

 choisir de manière à rendre le plus grand des degrés de J,(p,,f2(p^^..., f/^^^ 

 précisément égal à celui de F. 



» II. En appelant a, /3,..., Ç un système quelconque de solutions des équa- 

 tions (i) et posant, comme on peut le faire, 



fi = Pi{t - cr.)-}-qi{u - P) +...-^ Si (z - Ç), 



Pi,qi,..., Si étant des fonctions entières de degré nii— i par rapport, soit à 



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