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ALGÈBRE — Sur l'équation du cinquième degré; par M. Hekmite. 



« La théorie des fonctions elliptiques conduit à deux méthodes pour la 

 résolution de l'équation du cinquième degré. La première a pour fonde- 

 ment la possibilité de ramener l'équation proposée à la réduite 



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v5' *'V^ 



de l'équation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre. 

 Dans la seconde, qui est due à M. Kronecker (*), on prend pour point de 

 départ certaines fonctions cycliques des racines dont les carrés ont seule- 

 ment six valeurs, et qu'on représente par les quantités 



cos ani 2 u cos am 4 « 

 cosam4w cosamaw 



K /K' K±iK' 2K±:;K' ^ 



M étant successivement -^, -^, — — , De ces fonctions on 



déduit ensuite rationnellement les racines elles-mêmes, qui s'obtiennent 

 ainsi sous forme explicite à l'aide des mêmes quantités. Ces deux méthodes 

 ont été pour moi le sujet d'une longue étude, dont j'ai en ce moment l'hon- 

 neur d'offrir à l'Académie les résultats. Je m'accuperai d'abord de la réduc- 

 tion à la forme trinôme x^ — x — a = o de l'équation générale du cin- 

 quième degré, et, à cette occasion, de la recherche des conditions de réalité 

 des racines, sur laquelle M. Sylvester a publié récemment un de ses plus 

 beaux Mémoires (**). J'essayerai ensuite d'approfondir la méthode de 

 M. Kronecker et de la rapprocher de la précédente, en prenant pour base 

 le travail remarquable et plein d'invention dans lequel M. Brioschi en a 

 exposé les principes (***). Cette méthode permet, en effet, de ramener 

 l'équation générale du cinquième degré à celle-ri : 



.r' — Sx' -t- ^5x = • -i -\j-, = G, 



(•) Comptes rendus de V Académie des Sciences, année i858, et Journal de Crelle, 

 année i86i. 



(**) Ou titc renl and imaginary roots of nlgehraicnl équations : a trilogf. [Philnsnpliical 

 Transactions. Part. III, i864-) 



(***) Sul nicthndn di Kronecker per la risnluzinne délia etjuazione di quinto gradn 

 {Actes de l'Institut Lombard, vol. I). 



