(879) 

 de la substitution S égal à + i . Cela posé, soit pour un instant 



/ [mX -+- m'Y, rtX + «'Y) = F (X, Y) = {a, h, c, c', b', a') (X, Y)', 

 de sorte que l'on ait 



F ( wX, ^ y) = {aoi\ b(ù\c(ù, c'oo-', b'(,r\ a'a>-') (X, Yf. 



» J'achèverai de définir entièrement la substitution en déterminant u 

 par la condition eu = c'w~' ; cela fait, je prendrai F ( mX, - Y j pour trans- 

 formée canonique de la forme générale du cinquième degré, et en posant, 

 pour abréger, 



aw*=X, bw' = (x, C(ù = \/k, c'w-* = v^^, è'co-' = fji.', rt'w~' = X', 

 je la désignerai par # (X, Y), de sorte que l'on aura 



#(X,Y) = (X,/x, v/'^,V^,pt',X')(X,Y)=. 



» Il est aisé de voir qu'on obtiendra la même forme canonique pour 

 toutes les transformées déduites de la proposéey (a-, j") par une substitution 

 quelconque 2 au déterminant un; car il suffira d'effectuer dans cette forme 

 la substitution inverse 1~* qui ramènera à la proposée, et puis de la faire 

 suivre de S, pour retrouver -f (X, Y), le déterminant de la substitution com- 

 posée 1~' S étant d'ailleurs égal à i'tuiité. Il suit de là que les coefficients de 

 la forme canonique sont des invariants de la forme proposée, et il importe 

 d'étudier avec soin ces cofficients. 



n IL Je dis, en premier lieu, qu'ils peuvent s'exprimer en fonction des trois 

 quantités XX' = g, iJ-fx' = h et k. Effectivement le covariant quadratique 

 de -^(X, Y) étant devenu y'A.XY, on a les deux relations 



Xfji' — 4 i^ V^ + 3 A" = o, 



X'fjL — 4i^V^" + ^k = o, 



d'où l'on tire ces deux équations du second degré : 



36 vFX^ -[h {g- i6ky- - gA^ (g + i6A)] X +■ i6gs/'¥ = o, 

 i2vA'fji- — (gA^ H- \{^hk — gh) ^ -h i2h\/k^ = o. 

 En les résolvant et posant» pour abréger, 



A = (gk^ -^- i6hk - ghf - 2li'/ik\ 



