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 on auraf un premier système de solutions, savoir : 



72 v/Â^X = h{g- i&kf -Qk^g-i- i6k) + (g - i6/t) y/Â, 

 2/i\fi?iJ. = gk''-hï6hk-gh — s/à, 



et le second s'en déduira en changeant à la fois le signe de \/A dans ces deux 

 formules. Mais, d'après le produit des racines des équations en X et ^i, ce 



second système pourra aussi se représenter par ^» -, c'est-à-dire par X'et p.\ 



de sorte qu'on aura 



72 v/ÂT'X' = h{g- i6kY - ^k"- {g + i6k) - (g - 16 k) v'Â, 

 2/\\/k^[j.'= ç)k^ -\- 16 hk — gh-\- \jA. 



» Voici donc, comme on l'a annoncé, les coefficients de la forme cano- 

 nique 



#(X,Y) = (X,fx,v/^,v/Â-, /x', X')(X,Y)» 



exprimés en g, h, /f, et on va voir que ces quantités s'expriment elles-mêmes 

 par les invariants de la forme proposée. 



» m. Je rappellerai d'abord cette proposition, que, ^{jc, y) et ç, (x, j") 

 désignant deux covariants d'une forme /, si l'on pose 



(f [oc, j) = aoJi' + a^x'^^j 4-. . .-\- a^-s^j'~* + <^jJ'i 

 d'où 



(f{—j, x) = a^x" — a,_,x'-'j +.. .+ ( — 1)"~' atXj'-'-' -+- ( — i/^o J% 



l'expression 



^^ '-J' " dx" ' dx'-'df ^ ^ ' dxdy-^ ^ ' ° df 



sera encore un covariant.de j\ et je dirai suivant l'usage qu'il a été obtenu 



en ojiérant avec y (x, j) sur <f^ [x, j). Cela résulte de ce qu'en faisant 



(p (mX + m' Y, nX + «'Y) = AoX' + A.X"-' Y + . . . 



+ A„_, XY"-' 4- A„ Y" = $ (X, Y), 



et . 



y, [mX + m'Y, nX + n'Y) = 0, (X, Y), 



l'expression seaiblable obtenue en opérant avec 0(X, Y) sur $, (X, Y), 



