( 88i ) 

 savoir : 



A„ — — A,_, ■ h., .-h (— i) A, h (— il^Ao ' 



sera 



^{mX + m'Y, nX -h n'Y).{inn' — m'u)"', 



ou l'exposant v, du déterminant de la substitution est le degré de cp, (x, j). 

 .Te ferai usage de cette proposition en prenant pour 0, (X, Y) et $ (X, Y) 

 la transformée canonique de la forme du cinquième degré et son covariant 

 quadratique, de sorte qu'on ait 



0(X,Y) = v'ÂXY, $, (X, Y) = ^(X,Y). 



On obtiendra ainsi, sous sa forme canonique, un premier covariant du troi- 

 sième degré : 



V/Â ^f|y = 20 VA iix, s/k, fk, IX') (X, Y)', 

 et, en opérant avec le carré de (X, Y), ce covariant linéaire : 



^^^. = -^^oA{sJkX+s/kY). 

 Enfin on sait que le déterminant 



,\.(-r 'y\ — '!l iîl — Ùl Ûl 

 4* i-^' J) — dx dy dx dy 



est aussi un covariant, car on a 



Y jiY -1- n'N\— __-- 



rfX dX rfX dX 



{tnn' — in'n)^{mX-i- m'Y, 7iX+ «'Y)= ^^ 



Faisant donc 



$ (X, Y) = yjl XY, 



et prenant successivement pour $, les deux covariants auxquels on vient 

 de parvenir, savoir : 



(I) v'A(fx,v/Â,VÂ,fi')(X,Y)», 



(II) A(VÂX + s/^Y), 

 on obtiendra les suivants : 



(III) A(3pi,v/^, -V^, -3fx')(X,Y)», 



(IV) Av/Â(v/ÂX- VÂ-Y), 



C. R, i865, an>« Scmejtre. (T. LXI.N» 21.) • ''S 



