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 qui sont encore du troisième et du premier degré en X et Y. Maintenant 

 on voit qu'en opérant avec (I) sur (III), on est conduit à un invariant du 

 huitième degré, v'A' (fJ-f-'— ^') '• je le désignerai par B. En opérant avec (II) 

 sur (IV), on trouve un invariant du douzième degré, \iA.'\k, que je repré- 

 senterai par C. On a d'ailleurs 



>.).' — 3/jifj,' -t- 2 A- = v A ; 

 de sorte qu'ayant posé 



^>*' = ^> ^'-^^'=^^ 



on peut déterminer g, h et k au moyen de l'invariant du quatrième degré A, 

 et de ceux du huitième et du douzième degré, qu'on vient de définir, par ces 

 relations : 



£• — 3 A -f- 2 A- = VA, h — k = -=■: k = — = : 



d'où l'on tire 



A'-(-3AB4-C , AC H- B 



iT = 7= » « — — ?=— ■ 



° VA'' \jk' 



» Enfin j'observerai qu'en opérant sur (I) avec le cube du covariant li- 

 néaire (II), on obtient un invariant du dix-huitième degré, ayant pour 

 forme canonique y/ A' y'A' (fJt- ~ [>■')■ Je le désignerai par K, en posant 



R = i2v/Â^V'^(|x-p/), 



et, d'après les valeurs précédemment données de ^. et p/ en fonction de g, 

 h, k, on voit que 



R= vÂ^.vÂ, 



et, par conséquent, 



R2= A'A = A' [(9A-- H- i6hk - ghf - 24-M']. 



Or il vient, en remplaçant g, h, k par les valeurs ci-dessus, 



K»=(A^+3B)-AB=+2(A^+3B)(A-- i2B)BC+ (A=- 72B)AC-- ^HC: 



de sorte que K^ est une fonction entière des invariants A, B, C Une der- 

 nière et importante proposition nous reste à établir pour terminer ce sujet, 

 c'est que tout invariant, quel qu'il soit, peut être exprimé en fonction en- 

 tière de A, B, C et R. » 



