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 ou le rapport île doux ciil)es, reproduisent toutes les solutions particulières 

 du |)roblème résolu par Euler, lequel consiste à trouver quatre cubes dont 

 la somme algébrique soit nulle. Et chacune de ces solutions se retrouve à 

 trois places différentes; par exemple, l'équivalence 6" = 5'" + 4 + ^ " 

 résulte de 



5"' + 3'" 5" + 4'" 



4'" 



+ ;r' *^-3'"- 



)' 11. La série des rapports égaux à 2 signale une propriété remarquable, 

 ou un théorème nouveau dont voici l'énoncé : 



» Lorsque, parmi des binômes cubicjiies dont les quadrats sont équivalents, il s en 

 trouve deux desquels l'un est double de l'autre, ce second est toujours égal à In 

 différence d^^eux sixièmes puissances, ou au produit de deux binômes cubiques 



I o'" -+- ç)'" 12'"-+-! '" 37'" -+- 5'" 3 1 '" + 8'" 



de binômes cubiques dont les quadrats sont différents. 



Cette propriété est d'ailleurs vérifiée théoriquement par la formule identique 



_ (a^ — b'-h ab)' -+- (a' — b' — ab)^ 

 ^ ~ a»— i» ' 



qui en reproduit toutes les solutions. 



)> 12. Tout nombre entier, quel qu'il soit, est la valeur commune d'une 

 suite indéfinie de rapports, dont les antécédents sont des binômes cubiques et 

 les conséquents des carrés. C'est-à-dire que, pour tout nombre N, l'équation 

 j:' -f- j' = Nz'' est résoluble en nombres entiers Jc,j-, z, et cela d'une infi- 

 nité de manières. 



« Pour N := I , on a une suite de binômes cubiques égaux à des carrés : 



a"-t-i"' = 3", 8'"-7'"=i3", ioV"-io.r"=i8i", 37'" +11'" = 29.8",...; 



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