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» Tous ces coefficients sont ainsi des expressions entières en A, B, C, K, 

 ayant pour diviseur sJC^, et par conséquent un invariant quelconque sera 

 une fonction entière des mêmes quantités divisée par une puissance de C. 

 Mais les considérations précédentes ayant déjà conduit aux expressions P 

 et Q y/A, entières en g, h, A, on voit que ce dénominateur, représenté par 

 une puissance de C, disparaîtra nécessairement comme facteur commun. 

 C'est le résultat que je m'étais proposé d'établir et qui autorise à regarder 

 A, B, C, K comme invariants fondamentaux, puisque tous les autres quels 

 qu'ils soient en sont des fonctions rationnelles et entières. M'arrêtant à ce 

 point dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré, je reviens 

 à mon objet principal en établissant la proposition suivante, qui sert de 

 fondement à ma méthode, et qui montrera comment les invariants s'intro- 

 duisent à titre d'éléments analytiques et jouent le principal rôle dans la 

 résolution de l'équation du cinquième degré. 



» V. Soilf[x\ y) une forme de degré quelconque n, et f[x,j^) un de ses 

 covariants de degré n — 2 en x et y ; je dis que les coefficients de la transformée 

 en z de l'équation f(x, i) = o, obtenue en posant 



, '?{^> >} 



sont tous des invariants de j [x, j). 



» Avant d'exposer la démonstration, je rappellerai qu'on nomme cova- 

 riant de 



/(x, 7) = (rt, b,c,...) [x, jY 



tout polynôme (f {x^jr; a, b, c,...) dont les coefficients sont fonctions en- 

 tières de a, b, c,... et tel, qu'en posant 



f{mX + m' Y, nX + «'Y) = (A, B, C,.--) (X, Y)", 

 on ait 



(p(X, Y; A, B, C,...)= {mn'-m'ny(p{mX-h}n'Y, nX + n'Y; a, h, c,...). 



On voit qu'en faisant, pour abréger, 



F^X, Y)=/(mX + m'Y, «X+«'Y) et 0(X, Y) = 9 (X, Y; A, B, C,...), 



le polynôme $ est déduit de F absolument comme ip Ae f . 



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